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PROBLEMA 2: EL CUADRADO


Implementado en tercero básico

Enunciado:

Divide un cuadrado en dos piezas que sean iguales. Muestra tantas formas diferentes como puedas

Objetivos

1. Desarrollar comprensión y destreza matemática

Se espera que los y las estudiantes logren:

  • Dividir un cuadrado en dos partes iguales de varias maneras diferentes.
  • Determinar si dos piezas de papel son iguales, esto ocurre si al cortar el cuadrado por la línea divisoria y sobreponer las piezas éstas calzan.
  • Crear una estrategia para producir soluciones más complejas, consistentes en hacer “sacados” respecto del punto central del cuadrado, de modo que la línea divisoria no sea recta sino que con curvas o líneas quebradas.

 2. Fomentar la creatividad

Luego de hallar las soluciones triviales, los niños y niñas deberán idear muchas otras respuestas. Las respuestas son infinitas y permiten al alumno crear las formas que quiera, siempre que se cumplan las condiciones. La creatividad de los estudiantes será un factor clave en el desarrollo de la tarea, puesto que incidirá en el atractivo visual de las formas creadas y en la capacidad de inventar y depurar la estrategia con que se creará soluciones en mayor cantidad y de más complejidad.

3. Desarrollar confianza en su capacidad de hacer matemática

Todos los niños y niñas deberán convencerse de que son capaces de encontrar soluciones al problema planteado. Una vez que encuentren una estrategia que les permita generar varias respuestas de darán cuenta de que se pueden crear formas diversas y visualmente atractivas. El profesor podrá ir mostrando los trabajos al resto de los compañeros. Es importante que valore el trabajo de cada estudiante y le haga notar cuando haya sido capaz de aportar con soluciones interesantes.

Instrucciones

  • Leer el problema entre todos. El docente deberá explicar, además, qué significa que dos pizas sean iguales, esto es que al sobreponerlas calcen de modo perfecto. Si bien es más acertado decir que las piezas sean congruentes, el término congruencia es desconocido en tercero básico , por lo que se considera que con esta explicación puede trabajarse del mismo modo.
  • Entregar a cada alumno una hoja tamaño oficio o carta (puede ser la misma donde aparezca el enunciado con el problema) que tenga muchos cuadrados dibujados, explicar a los niños que deben dibujar ahí sus respuestas.
  • Para que comprueben si lo que han dibujado está correcto, entregar a cada estudiante muchos cuadrados de papel lustre. En el papel se dibuja la solución que quieren comprobar y se corta para saber si al sobreponer las piezas éstas calzan.
  • A medida que los niños van produciendo respuestas invitarlos a que muestren su trabajo a sus compañeros. El curso deberá indicar si el trabajo está correcto.

Descripción de la clase

La clase de la profesora Denisse comienza con la lectura del problema. La instrucción es corta y precisa. La docente explica, además, qué significa que dos partes sean iguales: “cuando al marcar por la línea marcada y sobreponer ambas piezas, éstas calcen perfectamente. Para hacerlas calzar puedo girar el papel del modo que me resulte más conveniente”.

La hoja que se entrega a los estudiantes tiene, bajo el encabezado, muchos dibujos cuadrados de 4×4 cm. Se explica a los alumnos que deben dibujar sus soluciones en los cuadrados. Además, se entrega a cada niño un sobre de papel lustre con el que podrán comprobar sus respuestas cortando y sobre poniendo las piezas.

Algunos estudiantes encuentran rápidamente las soluciones más sencillas y la profesora los invita a pasar adelante para mostrar su trabajo al resto del curso. Para esto cada niño exhibe el dibujo en la hoja de oficio y el papel lustre cortado en dos piezas, las hace calzar frente al curso para comprobar que su respuesta es correcta.

Las primeras respuestas que los alumnos proponen son las soluciones triviales: rectas paralelas a los lados y diagonales. La profesora pregunta si están correctas y muchos estudiantes responden que sí y que ellos también han podido encontrar esas soluciones.

Denisse motiva a los niños a buscar soluciones distintas a las ya mostradas. De a poco, comienzan a aparecer respuestas más sofisticadas.

El profesor Juan durante su clase saca adelante a los alumnos a mostrar su trabajo, pues de esta manera el resto del curso se inspira a tener más respuestas. Cada vez que alguien muestra su trabajo, Juan le pide al curso que verifique si lo mostrado por sus compañeros está correcto, “de esa manera casi todos los estudiantes, incluso los que suelen tener mayores dificultades en la clase de matemática, comienzan a conseguir diversos cortes”.

El trabajo de los niños

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La profesora Denisse relata que en su clase “varios estudiantes se dieron cuenta de algo muy interesante: que al hacer un sacado en la parte superior derecha y hacer el mismo sacado en la parte inferior izquierda, de la mitad del cuadrado, fácilmente se crean muchas formas, por ejemplo: estrellas, lunas, soles, árboles, animales, etc.”.

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Recomendaciones

Es adecuado trabajar los errores de los niños de modo que sean ellos mismos quienes puedan concluir que una solución es incorrecta. A continuación se muestran dos soluciones incorrectas que generaron confusión en los estudiantes y cuya comprobación con el material concreto permitió hacer evidente el error. En estos casos es muy importante que el alumno corte y se percate de que las figuras no calzan, así él mismo podrá llegar a la conclusión de qué cosas hizo mal y las revertirá en su próximo intento.

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La profesora Denisse enfatiza: “Si te das cuenta de que un alumno con dificultades produjo un buen resultado, es útil mostrar al curso y mencionar lo bien que lo hizo”.

Es importante tener mucho material disponible, varias hojas con cuadrados dibujados y bastante papel lustre, pues esta actividad resulta muy motivadora y se ha observado que la mayoría de los estudiantes piden más material para seguir encontrando soluciones, incluso después de terminada la clase.

Aspectos interesantes

Se observa que trabajar con este problema da resultados muy satisfactorios. Es particularmente exitoso con los estudiantes que no suelen interesante mucho por la clase de matemática, varios profesores comentaron lo entretenidos que estaban estos alumnos produciendo respuestas.

También se observa que a los niños les tomó menos tiempo que a laos adultos encontrar respuestas distintas a las triviales, esto se evidenció en las instancias de planificación conjunta donde los profesores e investigadores intentaron resolver el problema. Este hecho influyó positivamente en cuanto a las expectativas que los docentes tenían de sus estudiantes.