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PROBLEMA 4: HEXÁGONO


Implementado en tercero básico

Enunciado:

Parte 1

Ejercicio 1: Divide el hexágono regular en 2 partes iguales

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Parte 2

Ejercicio 2: ¿Se puede dividir el hexágono regular en tres partes iguales? ¿De varias maneras? Dibújalas

Repuesta:


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Parte 3

Ejercicio 3: ¿Se puede dividir el hexágono regular en cuatro partes iguales?, y ¿en 5?, y ¿en 6?, y ¿en 7, en 8..? ¿hay algún número de partes iguales para el cual no se pueda dividir el hexágono regular?

Repuesta:


 


 


 

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Objetivos

1. Desarrollar comprensión y destreza matemática

Se espera que los y las estudiantes logren:

  • Dividir un hexágono en dos y tres partes iguales de varias maneras diferentes.
  • Determinar si dos o tres piezas de papel son iguales, esto ocurre si al sobreponer las piezas en que se cortó el hexágono estas calzan.
  • Inventar una estrategia para producir soluciones más complejas, la cual consiste en hacer “sacados” a las soluciones triviales manteniendo como referencia el punto central del hexágono.
  • Concluir que es posible dividir un hexágono en 2,3,4,6,8,12 y 24 partes iguales y mostrar al menos una manera de hacerlo.
  • Percibir la dificultad que tiene dividir el hexágono en 5 ó 7 partes iguales.

2. Fomentar la creatividad

Este problema se liga con el ejercicio anterior del cuadrado, pues las estrategias de resolución son similares, a pesar de que en este se complejizan bastante. Por lo anterior, si los niños y niñas  ya tuvieron la oportunidad de resolver el problema del cuadrado rápidamente podrán hallar soluciones distintas de las triviales.

Tal como el ejercicio anterior, la creatividad de los alumnos será un factor clave en el desarrollo de la tarea, puesto que incidirá en el atractivo visual de las formas creadas y en la capacidad de inventar y depurar las estrategias con las que podrán crear soluciones en mayor cantidad y de más complejidad.

3. Desarrollar confianza en su capacidad de hacer matemática

Todos los alumnos y alumnas deberán convencerse de que son capaces de encontrar soluciones al problema planteado. Una vez que encuentren una estrategia que les permita generar varias respuestas se darán cuenta de que pueden crear formas diversas y visualmente atractivas. El profesor podrá ir mostrando los trabajos al resto de compañeros. Es importante que valore el trabajo de cada estudiante y le haga notar cuando haya sido capaz de aportar con soluciones interesantes.

Instrucciones

Entregar el problema a cada alumno, leerlo entre todos para comprender lo que se debe hacer. Es aconsejable tener muchas hojas disponibles que solo contengan hexágonos con las líneas interiores marcadas. Estas hojas serán sus borradores, acá los estudiantes podrán probar las soluciones cuando no estén seguros y podrán cortar para comprobar.

Explicar que siempre pueden comprobar sus respuestas cortando las partes y sobreponiéndolas para ver si coinciden.

Dar tiempo suficiente para que los niños resuelvan las dos primeras tareas, dejar que encuentren muchas soluciones.

En la tercera parte del problema motivar a que los alumnos descubran qué divisiones son posibles de hacer.

Descripción de la clase

El profesor Manuel comienza su clase con la lectura de la primera parte del problema, los niños lo relacionan de inmediato con el ejercicio del cuadrado realizado 2 meses atrás, que es parecido, y comienzan a crear soluciones inventando rápidamente respuestas distintas de las triviales (entendemos como respuestas triviales las líneas rectas que pasan por el centro y los vértices opuestos al hexágono).

El curso completo está trabajando muy interesado en el problema. Manuel les recuerda que pueden cortar el papel de su hoja de borrador para comprobar sus respuestas si es que no están seguros de que las partes son iguales.

El trabajo de los niños

A continuación se muestran algunos de las soluciones aportadas por los niños:

 

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El profesor permite que los niños muestren sus respuestas, esto incentiva a los estudiantes a encontrar soluciones más novedosas para mostrar a sus compañeros. Al ver que muchos alumnos utilizan las líneas marcadas en el hexágono, Manuel les recuerda que también pueden emplear líneas curvas o quebradas, con lo que surgen respuestas más sofisticadas como las que aparecen a continuación:

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Una vez que todos los alumnos han creado varias soluciones, el profesor decide pasar a la segunda parte del problema. Los niños descubren que pueden dividir el hexágono en 3 usando líneas rectas, de modo que se puede observar un cubo, como el que muestra la imagen:

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Manuel ya esperaba que los niños encontraran esta solución, pues lo habían comentado en la reunión de planificación de la clase y era una respuesta esperada. Entonces, los motiva para seguir encontrando soluciones y aparecen varias respuestas interesantes.

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El profesor da tiempo suficiente para que todos los alumnos encuentren soluciones, cuando todos han avanzado queda poco tiempo para salir a recreo. Entonces, Manuel les propone leer la tercera parte del problema. Surgen varias apreciaciones interesantes, por ejemplo: que es fácil dividir el hexágono en 4 ó 6 partes iguales. Con un poco más de esfuerzo logran dividirlo en 8, en 12 y en 24 partes iguales, pero no logran hacerlo ni en 5 ni 7 partes iguales. El tiempo que queda es poco y no es posible ordenar las apreciaciones de los estudiantes de modo que quede clara una conclusión final, sin embargo, el profesor hace que los niños expongan al curso lo que consiguieron encontrar.

Al final de la clase Manuel comenta: “rescato el entusiasmo de los alumnos para exponer sus soluciones, y que los niños que estuvieron en esta ocasión  más activos no son alumnos que regularmente participen en clases”.

Recomendaciones

  • Es recomendable que los estudiantes que tienen más dificultades para visualizar si sus soluciones son correctas lo comprueben con material concreto, es decir, con la hoja del borrador. Esto les permitirá darse cuenta de sus errores y perfeccionar la técnica que emplean. Por el contrario, los alumnos que resuelvan de modo más rápido el problema deberían ser capaces de discriminar si las soluciones son correctas  de modo visual.
  • Si las respuestas que aparecen únicamente son soluciones dibujadas sobre las líneas marcadas al interior del hexágono, se debe recordar a los alumnos que estas líneas solo son guías, y no es necesario que sus respuestas pasen por ahí, que pueden emplear, por ejemplo, líneas curvas para producir respuestas novedosas.
  • En la tercera parte, los niños podrían usar de referencia los 24 triángulos en que está dividido el hexágono para argumentar que es posible dividir el hexágono en 24, 12, 6 y 3 partes iguales.