La web de los profesores que enseñan matemática

PROBLEMA 5: ARITMOGÓN


Implementado en tercero básico

Enunciado:

Parte 1

En un aritmogón hay un número en cada esquina del triángulo. Al sumarlos el resultado se pone en los cuadros dibujados en los lados del triángulo.

015

Parte 2

Ejercicio 1: Calcula los números que faltan en las esquinas:

016

Los aritmogones pueden ser resueltos de muchas formas. ¿Cómo los resolviste tú? ¿Encontraste un método para resolver el aritmogón cuando se dan los números de los lados y dos de esos números son iguales? Escríbelo.

Ejercicio 2: Inventa un aritmogón fácil y otro no tan fácil para que lo resuelva tu compañero de banco. Resuelve los aritmogones que tu compañero invente para ti:

017

Objetivos

1. Desarrollar comprensión y destreza matemática

Se espera que los y las estudiantes logren:

  • Resolver varios aritmogones.
  • Identificar una estrategia para resolver el aritmogón cuando dos de los números de los cuadrados son iguales, la cual consiste en poner en los vértices contiguos al número diferente la mitad de este, y luego restar al número repetido para obtener el número en el vértice que falta.
  • Inventar una estrategia para construir aritmogones cuya solución es conocida para quien los construye, que consiste en escribir números en los vértices, sumarlos para obtener los números de los cuadrados y luego borrar los números de los vértices.

2. Fomentar la creatividad

En esta tarea los niños necesitarán generar una estrategia que permita construir aritmogones de modo de que resulten desafiantes para sus compañeros, del mismo modo deberán inventar maneras de resolver los que les proponen a ellos. Estas estrategias de construcción y resolución no son evidentes en un principio y serán descubiertas dependiendo del ingenio de los estudiantes.

3. Desarrollar confianza en su capacidad de hacer matemática

Este problema se caracteriza por propiciar un ambiente de trabajo autónomo y de concentración. Las instrucciones son claras por lo que los estudiantes comienzan a resolver los ejercicios, en ocasiones, antes de que el profesor lo indique. Las estrategias surgen, también, producto de ese trabajo personal o en discusión con sus pares.

Instrucciones

Repartir a todos los estudiantes las hojas con la tarea.  El profesor deberá determinar si se entregan las hojas juntas o las van entregando a medida de que los alumnos avanzan.

Comenzar leyendo la explicación de lo que es un aritmogón y analizar el ejemplo 1. Dar un tiempo breve para que los estudiantes resuelvan los otros ejemplos, comentar las diferencias que observan en cuanto a los niveles de dificultad de los ejemplos 2 y 3.

Pasar a ejercicio 1, dar tiempo para que cada uno trabaje intentando resolverlo y luego comentar entre todos. Incentivar a los alumnos a verbalizar de qué modo resolvieron el problema, poniendo énfasis en la regularidad encontrada.

Pasar al ejercicio 2, en este los estudiantes deberán construir sus propio aritmogones fáciles y difíciles. El profesor hará que los alumnos expliquen por qué establecen esos grados de dificultad.

Dejar que los niños que quieran pasen a la pizarra a escribir un aritmogón para que el resto del curso lo resuelva.

Descripción de la clase

La profesora Cecilia entrega el problema y explica qué es un aritmogón. Los estudiantes comprenden rápidamente lo que deben hacer. Los primeros ejercicios no presentan complicaciones.

Al revisar los ejemplos entre todos, los estudiantes se dan cuenta de que cuando faltan los número s delos cuadrados es muy fácil obtener la solución porque solo deben sumar, pero al faltar los números de las esquinas deben ir probando con muchos números por lo que el problema es más difícil, sin embargo, obtienen el resultado después de un tiempo.

Cuando llega el momento de hacer el ejercicio 1 los estudiantes ya están familiarizados con el aritmogón, así que se ponen rápidamente a buscar los números que podrían ir en los círculos de las esquinas. Algunos alumnos encuentran los números que faltan después de intentar con varias alternativas hasta llegar al resultado correcto.

Otros niños encuentran una estrategia eficiente y pueden explicarla, pero les cuesta mucho describir dicha idea. Este hecho es bastante común y Cecilia está preparada para que así ocurra, de modo que ayuda a los estudiantes a escribir en sus palabras la estrategia empleada. No todos los alumnos encuentran métodos sofisticados;  otros, sí logran escribir sus estrategias con mayor o menor claridad.

El trabajo de los niños

018

(Si al número de abajo –al medio- le resto la mitad del número tiene que ser 6-3=3 y luego sumo 3+3=6 y luego resto 8-3=5, y ese es el método mío)

 

019

(Si la mitad de dos es uno, y al lado será uno, y uno más 4 son 5)

 

020

(Pensando hasta que me salga bien)

 

021

(Porque en el primer triángulo hay 5 5 y 8 8 en el segundo, y yo sumé 8+8 me dio 16, pero no era, y pensé 3+3 son 6 y después puse 3 y 3 y resté 3-8 porque me dio 5)

En el ejercicio 2 los alumnos deben inventar aritmogones, algunos niños ponen números al azar resultando un problema sin solución. La profesora explica que el estudiante que inventa un aritmogón debe conocer sus resultados, así algunos comienzan a crear estrategias que les permitan construir un aritmogón cuya solución conozcan. Una táctica consiste en escribir número cualquiera en las esquinas, sumar para obtener los números de los cuadrados y luego borrar los de las esquinas. Así el compañero deberá descubrir qué números van en dichos espacios.

Pasan alumnos a escribir aritmogones en la pizarra para desafiar a sus compañeros. Algunos estudiantes intentan resolverlos  en sus puestos para poder salir a la pizarra y mostrar que han obtenido la respuesta, otros siguen inventando o resolviendo aritmogones con su pareja.

La actividad mantuvo a todo el curso concentrado. La profesora Cecilia comenta que “la mayoría de los alumnos terminó el problema con satisfacción ya que pudieron resolver todo o gran parte de lo propuesto; fue el resultado de lo que ellos descubrieron y no algo mecánico ni guiados por el profesor”.

Recomendaciones

  • Es aconsejable que los estudiantes expliquen los ejemplos en la pizarra, así el profesor podrá cerciorarse de que están haciendo lo correcto. Dejar que los mismos niños sean quienes identifiquen y corrijan los errores.
  • Es bueno que en el ejercicio 2 usen lápices de colores distintos tanto el alumno “inventor” como el que resuelve. Esto posteriormente permitirá entender el trabajo que hizo la pareja.
  • Se aconseja que el profesor centre su objetivo en que los niños identifiquen una estrategia de resolución, más que en llegar a los resultados correctos. Esto se hace explícitamente diciéndoles que intenten buscar estrategias, que las comenten y las discutan.

Aspectos interesantes

En una de las clases uno de los niños presentó el siguiente aritmogón, desafiando a sus compañeros a resolverlo:

022

Todos los niños estuvieron de acuerdo en que ese aritmogón no tenía solución, pues en este nivel los decimales son desconocidos. Sin embargo, uno de los niños exclamó: “sí tiene solución”, pero pasó desapercibido por la profesora.

La investigadora que filmaba la clase esperó a que esta finalizara y conversó con el niño:

Investigadora: ¿Cuál es la solución que encontraste para ese aritmogón?

Niño: A los lados, tres y medio y tres y medio.

Investigadora:  ¿Y qué número iría arriba?

Niño: Aah, ahí no sé.

Este hecho es interesante, pues observamos cómo trabajando este problema  de manera fortuita se abre un tema interesante y complejo: los números decimales. Por otro lado, nos damos cuenta de que los niños sí tienen nociones de los números decimales y, quizá, esta actividad pueda servir para introducir esta temática, si se diseña la actividad de modo tal que se otorgue el enfoque.